GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH SỐ (Nguyễn Thị Vinh)

1.1 GIẢI TÍCH SỐLÀ GÌ

Giải tích số(Numerical Analysis) hay còn gọi làPhương pháp số(Numerical Methods) hay Phương pháp tính(Calculating Methods) là một khoa học nghiên cứu các lời giải sốcủa các bài toán của toán học.

Ba nhiệm vụchính của giải tích sốlà:

1. Xấp xỉhàm số: Thay một hàm có dạng phức tạp bằng một hàm hoặc nhiềa hàm có dạng đơn giản hơn. Các bài toán thường gặp là nội suy và xấp xỉhàm.

2. Giải gần đúng các phương trình: Bao gồm các phương trình đại sốvàsiêu việt, các hệphương trình đại sốtuyến tính và phi tuyến, giải các phương trình và hệphương trình vi phân thường và vi phân đạo hàm riêng, …

3. Giải các bài toán tối ưu.

Tuy nhiên trong các giáo trình Giải tích số, người ta chỉ đềcập đến hai nhiệm vụ đầu, còn nhiệm vụthứba dành cho các giáo trình vềQui hoạch toán học hay Tối ưu hoá.

NỘI DUNG:

1 CHƯƠNG 1: MỞ ĐẦU......................................................................................4

1.1 GIẢI TÍCH SỐLÀ GÌ...................................................................................4

1.2 SỰKHÁC BIỆT GIỮA TOÁN HỌC LÍ THUYẾT VÀ TOÁN HỌC TÍNH

TOÁN 4

1.3 CÁC BƯỚC GIẢI MỘT BÀI TOÁN CỦA GIẢI TÍCH SỐ.....................5

1.4 THUẬT TOÁN VÀ ĐỘPHỨC TẠP...........................................................6

1.4.1 Thuật toán...............................................................................................6

1.4.2 Độphức tạp thuật toán...........................................................................7

1.5 SỐXẤP XỈVÀ SAI SỐ...............................................................................10

1.5.1 Sốxấp xỉ, sai sốtuyệt đối và sai sốtuong đối.....................................10

1.5.2 Cách viết sốxấp xỉ................................................................................11

1.5.3 Qui tròn sốvà sai sốqui tròn...............................................................11

1.5.4 Các công thức tính sai số......................................................................12

1.6 BÀI TẬP CHƯƠNG 1.................................................................................13

2 CHƯƠNG 2: GIẢI HỆPHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH...........................14

2.1 PHƯƠNG PHÁP KHỬGAUSS - JORDAN.............................................14

2.1.1 Thuật toán.............................................................................................14

2.1.2 Ưu, nhược điểm của phương pháp......................................................14

2.1.3 Các ví dụ................................................................................................14

2.1.4 Sơ đồkhốivà chương trình..................................................................16

2.1.5 Đánh giá độphức tạp thời gian...........................................................17

2.1.6 Ứngdụng phương pháp khửGauss vào việc tính định thức............17

2.2 GIẢI HỆPTTT DẠNG BA ĐƯỜNG CHÉO............................................18

2.2.1 Đặt vấn đề..............................................................................................18

2.2.2 Áp dụngphương pháp khửGauss–Jordan:.......................................18

2.2.3 Phương pháp truy đuổi (nắn thẳng) giải hệba đường chéo.............19

2.3 PHƯƠNG PHÁP LẶP SEIDEL .................................................................21

2.3.1 Thuật toán.............................................................................................21

2.3.2 Điều kiện hội tụvà đánh giá sai sốcủa phương pháp.......................21

2.3.3 Ví dụ.......................................................................................................22

2.3.4 Sơ đồkhốivà chương trình ..............................................24

2.3.5 SửdụngSolver trong EXCEL giải hệPTTT .....................................26

2.4 TÍNH MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO..............................................................26

2.4.1 Ứngdụng phương pháp Gauss tính ma trận nghịch đảo .................26

2.4.2 Tính ma trận nghịch đảo A

–1

bằng phương pháp lặp Newton ..........27

2.4.3 Sửdụnghàm MINVERSE trong EXCEL tìm A

-1

.............................29

2.5 BÀI TẬP CHƯƠNG 2.................................................................................31

3 CHƯƠNG 3: PHÉP NỘI SUY VÀ ĐƯỜNG CONG PHÙ HỢP..................32

3.1 KHÁI QUÁT VỀBÀI TOÁN NỘI SUY....................................................32

3.1.1 Đặt vấn đề..............................................................................................32

3.1.2 Đa thức nội suy......................................................................................32

3.1.3 Sơ đồHorner tính giá trịcủa đa thức.................................................33

3.2 ĐA THỨC NỘI SUY LAGRANGE...........................................................33

3.2.1 Lập công thức........................................................................................33

3.2.2 Ví dụ: Tìm giá trịgần đúngcủa f(2,6) từbảng sốliệu .....................34

2

3.2.3 Sai số: Người ta đã chứng minh rằng nếu hàm f(x) khảvi liên tục

đến cấp N+1 trên đoạn [a,b] chứa tất cảcác mốc nội suy xk, k = 0, ..., N thì sai

sốcủa nội suy Lagrange là...................................................................................34

3.2.4 Sơ đồkhốivà chương trình..................................................................35

3.3 ĐA THỨC NỘI SUY NEWTON VỚI BƯỚC CÁCH ĐỀU ....................36

3.3.1 Bảng sai phân hữu hạn.........................................................................36

Bảng sai phân hữu hạn.......................................................................................36

3.3.2 Đa thức nội suy Newton tiến................................................................37

3.3.3 Đa thức nội suy Newton lùi.................................................................38

3.3.4 Công thức nội suy Newton với mốc quan sát bất kỳ.........................41

3.4 NỘI SUY SPLINE........................................................................................43

3.4.1 Đặt vấn đề..............................................................................................43

3.4.2 Bài toán ..................................................................................................43

3.4.3 Xây dựng công thức..............................................................................43

3.4.4 Các bước giải bài toán nội suy Spline bậc ba.....................................45

3.4.5 Ví dụ.......................................................................................................45

3.4.6 Chương trình tính.................................................................................45

3.5 PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG BÉ NHẤT LÀM KHỚP DỮLIỆU46

3.5.1 Đặt vấn đề:.............................................................................................46

3.5.2 Lập công thức........................................................................................47

3.5.3 Các ví dụ:...............................................................................................47

3.5.4 Các bước giải và chương trình............................................................49

3.6 BÀI TẬP CHƯƠNG 3.................................................................................50

4 CHƯƠNG 4: TÍNH ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH...................51

4.1 TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM..................................................................51

4.1.1 Xấp xỉgiá trị đạo hàm dựa vào bảng sai phân..................................51

4.1.2 Xấp xỉ đạo hàm bằng công thức nội suy.............................................52

4.2 TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH..........................................55

4.2.1 Lập công thức chung sửdụng đa thức nội suy Newton tiến.............55

4.2.2 Quy tắc làm tăng độchính xác của việc tính tích phân ....................59

4.3 BÀI TẬP CHƯƠNG 4.................................................................................61

5 CHƯƠNG 5: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH f(x) = 0..............................................62

5.1 ĐẶT VẤN ĐỀ...............................................................................................62

5.1.1 Bài toán ..................................................................................................62

5.1.2 Các bước giải.........................................................................................62

5.1.3 Tách nghiệm..........................................................................................62

5.2 CÁC PHƯƠNG PHÁP KIỆN TOÀN NGHIỆM......................................63

5.2.1 Phương pháp chia đôi...........................................................................63

5.2.2 Phương pháp lặp đơn...........................................................................64

5.2.3 Phương pháp dây cung.........................................................................65

5.2.4 Phương pháp tiếp tuyến (Newton)......................................................67

5.3 GIẢI HỆPHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN................................................69

5.3.1 Lập công thức: ......................................................................................69

Cho hệphi tuyến.....................................................................................................69

5.3.2 Các bước giải hệphi tuyến bằngphương pháp lặp Newton-Raphson

70

3

5.3.3 Sơ đồkhốivà chương trình..................................................................73

5.4 PHƯƠNG PHÁP LẶP SEIDEL .................................................................74

5.5 SửdụngSolver trong EXCEL giải hệphương trình phi tuyến...............76

5.6 BÀI TẬP CHƯƠNG 5.................................................................................77

6 CHƯƠNG 6: CÁC PHƯƠNG PHÁPSỐGIẢI PHƯƠNG TRINH.............78

VI PHÂN......................................................................................................................78

6.1 ĐẶT VẤN ĐỀ...............................................................................................78

6.1.1 Bài toán Cauchy (bài toán giá trị đầu)...............................................78

6.1.2 Bài toán biên hai điểm tuyến tính đối với PTVP cấp hai:................79

6.1.3 Các phương pháp sốgiải bài toán Cauchy.........................................79

6.2 CÁC PHƯƠNG PHÁP SỐGIẢIBÀI TOÁN CAUCHY ........................79

6.2.1 Phương pháp Euler...............................................................................79

6.2.2Phương pháp Euler cải tiến.................................................................81

6.2.3 Phương pháp Runge-Kutta..................................................................83

6.2.4 Giải bài toán Cauchy của hệPTVP cấp một......................................86

6.3 PHƯƠNG PHÁP SAIPHÂN GIẢI BÀI TOÁN BIÊN TUYẾN TÍNH..87

6.3.1 Xét bài toán biên hai điểm tuyến tính đối với PTVP cấp hai:..........87

6.3.2 Ví dụ: Tìm hàm y(x) trên [0; 1] với bước h = 0,1 là nghiệm của

6.3.3 Sơ đồkhối..............................................................................................89

6.4 BÀI TẬP CHƯƠNG 6.

LINK DOWNLOAD

1.1 GIẢI TÍCH SỐLÀ GÌ

Ba nhiệm vụchính của giải tích sốlà:

1. Xấp xỉhàm số: Thay một hàm có dạng phức tạp bằng một hàm hoặc nhiềa hàm có dạng đơn giản hơn. Các bài toán thường gặp là nội suy và xấp xỉhàm.

3. Giải các bài toán tối ưu.

NỘI DUNG: