ỨNG DỤNG CỦA LÍ THUYẾT NHÓM TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP (Nguyễn Tuyết Nga)
3 thg 5, 2025 | 09:12

ỨNG DỤNG CỦA LÍ THUYẾT NHÓM TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP (Nguyễn Tuyết Nga)



Luận văn đ-ợc trình bày trong 3 ch-ơng. Ch-ơng 1 là những kiến thức chuẩn bị về lý thuyết nhóm nhằm phục vụ cho 2 ch-ơng sau, bao gồm các khái niệm và tính chất cơ bản về nhóm, đồng cấu nhóm, nhóm đối xứng và tác động của nhóm lên tập hợp. Các kiến thức và thuật ngữ của Ch-ơng I đ-ợc tham khảo chủ yếu trong các cuốn sách về lý thuyết nhóm của J. Rotman [Rot] và J. F. Humphreys [Hum].

Ch-ơng 2 là một số ứng dụng vào số học. Một số kết quả ở các Tiết 2.1 và 2.2 là sự tổng hợp lại theo một chủ đề những ứng dụng đG biết của lí thuyết nhóm trong số học (xem 2.1.3, 2.1.4, 2.1.5, 2.2.1, 2.2.2),nh-ng cũng có những tính chất mà tác giả luận văn tự tìm tòi bằng hiểu biết của mình (xem 2.1.1, 2.1.2). Tiết 2.3, đ-ợc trình bày theo bài báo công bố năm 2005 của T. Evans và B. Holt [EH], chứng minh lại những công thức số học cổ điển bằng ph-ơng pháp sử dụng công thức các lớp và Định lý Burnside trong lí thuyết nhóm.

Ch-ơng cuối của luận văn là những ứng dụng của lý thuyết nhóm vào một số bài toán tổ hợp. Thực chất, khi có lí thuyết nhóm soi vào, các bài toán tổ hợp này đG bớt phức tạp hơn, cách giải quyết nó cũng không còn là những mẹo mực hay bí ẩn dễ nhầm lẫn của Toán tổ hợp nữa, mà nó trở thành rõ ràng, hệ thống và dễ hiểu.


NỘI DUNG:


1 Kiến thức chuẩn bị về lí thuyết nhóm 5

1.1 Nhóm, nhóm xylic và nhóm con . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Định lí Lagrange, đồng cấu nhóm . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Tác động của nhóm lên tập hợp . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4 Công thức các lớp và Định lí Burnside . . . . . . . . . . 10

2 Một số ứng dụng vào số học 15

2.1 Một số ứng dụng đơn giản . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 Một số ứng dụng của Định lí Lagrange . . . . . . . . . . 19

2.3 ´Ưng dụng của Công thức các lớp và Định lí Burnside . . 20

3 ´Ưng dụng vào tổ hợp 26

3.1 Nhóm đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2 ´Ưng dụng vào tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.3 Một số ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Tài liệu tham khảo .








LINK DOWNLOAD



Luận văn đ-ợc trình bày trong 3 ch-ơng. Ch-ơng 1 là những kiến thức chuẩn bị về lý thuyết nhóm nhằm phục vụ cho 2 ch-ơng sau, bao gồm các khái niệm và tính chất cơ bản về nhóm, đồng cấu nhóm, nhóm đối xứng và tác động của nhóm lên tập hợp. Các kiến thức và thuật ngữ của Ch-ơng I đ-ợc tham khảo chủ yếu trong các cuốn sách về lý thuyết nhóm của J. Rotman [Rot] và J. F. Humphreys [Hum].

Ch-ơng 2 là một số ứng dụng vào số học. Một số kết quả ở các Tiết 2.1 và 2.2 là sự tổng hợp lại theo một chủ đề những ứng dụng đG biết của lí thuyết nhóm trong số học (xem 2.1.3, 2.1.4, 2.1.5, 2.2.1, 2.2.2),nh-ng cũng có những tính chất mà tác giả luận văn tự tìm tòi bằng hiểu biết của mình (xem 2.1.1, 2.1.2). Tiết 2.3, đ-ợc trình bày theo bài báo công bố năm 2005 của T. Evans và B. Holt [EH], chứng minh lại những công thức số học cổ điển bằng ph-ơng pháp sử dụng công thức các lớp và Định lý Burnside trong lí thuyết nhóm.

Ch-ơng cuối của luận văn là những ứng dụng của lý thuyết nhóm vào một số bài toán tổ hợp. Thực chất, khi có lí thuyết nhóm soi vào, các bài toán tổ hợp này đG bớt phức tạp hơn, cách giải quyết nó cũng không còn là những mẹo mực hay bí ẩn dễ nhầm lẫn của Toán tổ hợp nữa, mà nó trở thành rõ ràng, hệ thống và dễ hiểu.


NỘI DUNG:


1 Kiến thức chuẩn bị về lí thuyết nhóm 5

1.1 Nhóm, nhóm xylic và nhóm con . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Định lí Lagrange, đồng cấu nhóm . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Tác động của nhóm lên tập hợp . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4 Công thức các lớp và Định lí Burnside . . . . . . . . . . 10

2 Một số ứng dụng vào số học 15

2.1 Một số ứng dụng đơn giản . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 Một số ứng dụng của Định lí Lagrange . . . . . . . . . . 19

2.3 ´Ưng dụng của Công thức các lớp và Định lí Burnside . . 20

3 ´Ưng dụng vào tổ hợp 26

3.1 Nhóm đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2 ´Ưng dụng vào tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.3 Một số ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Tài liệu tham khảo .








LINK DOWNLOAD

M_tả
M_tả

Chuyên mục:

Không có nhận xét nào: