Tài liệu môn học Giải tích 2 - Lý thuyết và bài tập (Phạm Thanh Tùng - Đại học Bách khoa Hà Nội) | Cộng đồng Kỹ thuật cơ điện Việt Nam EBOOKBKMT

TÀI LIỆU THAM KHẢO:

− Bài giảng môn Giải tích II, thầy Bùi Xuân Diệu.

− Bài tập giải sẵn Giải tích 2 (Tóm tắt lý thuyết và chọn lọc), thầy Trần Bình.

− Bài tập Toán học cao cấp, tập hai: Giải tích, GS.TS NguyễnĐìnhTrí(chủ biên), PGS.TS. Trần ViệtDũng,PGS.TS.Trần Xuân Hiền, PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo.

− Bộ đề cươngGiải tích II, Viện Toán ứng dụng và Tin học.

− Bộ đềthi Giữa kì và Cuối kì môn GiảitíchIITrườngĐHBáchKhoa Hà Nội.

NỘI DUNG:

CHƯƠNGI:H À MNHIỀU BIẾN SỐ ..................................................................7

I. Bài toán tìm giới hạn của hàm nhiều biến số:.............................................7

II. Bài toán khảo sát tính liên tục của hàm nhiều biến số: ...........................14

III. Các bài toán về đ ạo hàm riêng:...............................................................16

1. Tínhđạo hàm riêng của hàm bịgãy khúc: ............................................18

2. Tínhđạo hàm riêng của hàm sốhợp:.....................................................19

3. Đạo hàm riêng cấp hai:............................................................................20

4. Tính đ ạo hàm riêng của hàm sốhợp gián tiếp qua hàm tích phân:.....21

5. Tínhđạo hàm riêng của hàm ẩn:............................................................23

6. Viếtphươngtrìnhtiếp tuyến củađường cong tại mộtđ i ểm cho bởi

hàm ẩn rút ra từ 𝑭(𝒙,𝒚)=𝟎.........................................................................24

7. Tìmđiểm kì dịcủ ađường cong: .............................................................25

8. Một sốbài tập tổn g hợp:..........................................................................26

IV. Khảo sát tính liên tục củađ ạo hàm riêng: .............................................27

V. Bài toán sửdụng vi phân tính gầnđúng: ..................................................28

VI. Bài toán tính vi phân toàn phần: ............................................................29

VII. Bài toán tìm cực trịcủa hàm nhiều biến(khôngc óđiều kiện):...........31

VII. Bài toán cực trị cóđ i ều kiện ràng buộc giữa 𝐱và 𝐲: ............................35

VIII. Bài toán khai triển Taylor tại mộtđiểm của hàm nhiều biến số: ........38

IX. Bài toán giá trịlớn nhất, nhỏnhất : ........................................................39

1. Bài toán: ....................................................................................................39

2. Cách làm tổng quát:.................................................................................39

CHƯƠNGI:CÁCỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN .......................44

I. Trong hình học phẳng (Oxy) ......................................................................44

II. Trong hình học không gian (Oxyz):...........................................................47

III. Bàit o á nliênquanđếnđườngc o n gchodưới dạng giao tuyến của 2

mặt cong:.............................................................................................................50

IV. Bài toán tìm hình bao của họ đường cong phụthuộc vào tham số: .....51

2

1. Địnhnghĩa:................................................................................................51

2. Cácbước tìm hình bao:............................................................................52

V. Hàm vecto:....................................................................................................54

CHƯƠNGII:TÍCHPHÂNBỘI.........................................................................56

§2.1: TÍCH PHÂN KÉP ....................................................................................56

I. Các công thứct ín hcơbản: .........................................................................56

1. Dạng 1: Miền 𝐃là miền hình chữnhật:.................................................56

2. Dạng 2: Miền D là miền có dạng hình thang cong:...............................58

3. Dạng 3: Miền 𝐃có dạng hình thang cong: ............................................62

II. Bàit o á nđổi thứtựlấy tích phân: ..............................................................64

1. Bài toán: ....................................................................................................64

2. Phươngpháp:............................................................................................65

III. Cácphépđổi biến sốtrong tích phân kép: ............................................71

1. Phépđ ổi biến trong tọađ ộ Đề-các:.........................................................71

2. Phépđ ổi biến sốtrong tọađ ộcực:..........................................................73

3. Phépđ ổi biến sốtrong tọađ ộcực suy rộng:..........................................84

IV. Tích phân kép có miền lấyt íc hphânđối xứng: ....................................87

V. Tích phân kép có dấu giá trịtuyệtđối: .....................................................89

VI. Dạng bài kết hợpc á cphươngphápđổi biến số: ...................................93

VII. Dạng bài sửdụn g tọađộcự cđểgiải tích phân có miền 𝐃đặc biệt:....93

VIII. Bài tập tựluyện: .......................................................................................97

§2.2: TÍCH PHÂN BỘI BA...............................................................................98

I. Sơlược vềtích phân bội ba: .......................................................................98

II. Một sốdạngc ơbản: ..................................................................................102

1. Dạng 1:.....................................................................................................102

2. Dạng 2:.....................................................................................................102

3. Dạng 3: ....................................................................................................103

4. Dạng 4:.....................................................................................................104

III. Đổi biến sốtrong tích phân bội ba:.......................................................110

3

1. Phépđ ổi biến sốtrong tọađ ộtrụ: ........................................................110

2. Phépđ ổi biến sốtrong tọađ ộtrụsuy rộng..........................................115

3. Phépđ ổi biến sốtrong tọađ ộcầu :........................................................116

4. Phépđ ổi biến sốtrong tọađ ộcầu suy rộng:........................................122

5. Phépđ ổi biến sốtrong tọađ ộ Đề-các: ..................................................130

IV. Tích phân có miềnđ ối xứng:.................................................................132

V. Một sốdạngb à iđặc biệt:..........................................................................135

1. Tọađộtrụcó sửdụng hình chiếu của miền 𝐕lên 𝐎𝐱𝐳hoặc 𝐎𝐲𝐳:.....135

2. Đổi thứtựlấy tích phân:........................................................................136

3. Đổi vai trò của 𝐱,𝐲,𝐳...............................................................................137

4. Dạng tổn g hợp: .......................................................................................139

5. Sửdụngđ ổi biến sốtrong tọađ ộcầuđểtính các tích phân bội ba có

miền phức tạp: ..............................................................................................140

VI. Bài tập tựluyện: .....................................................................................142

§2.3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI ..................................................143

I. Tính diện tích hình phẳn g.........................................................................143

II. Tính diện tích mặt cong: ...........................................................................148

III. Tính thểtích vật thể:..............................................................................150

CHƯƠNGIII:T Í C HPHÂNPHỤTHUỘC THAM SỐ.................................156

§3.1:T í c hphânxácđịnh phụthuộc tham số ................................................156

I. Khái niệm: ..................................................................................................156

II. Các tính chất củat íc hphânxácđịnh phụthuộc tham số: ....................156

1. Tính liên tục:...........................................................................................156

2. Tính khảvi:.............................................................................................158

3. Tính khảtích:..........................................................................................162

III. Tích phân phụthuộc tham sốvới cận biếnđổi: ..................................163

1. Tính liên tục:...........................................................................................163

2. Tính khảvi:.............................................................................................165

3. Tính khảtích:..........................................................................................166

4

§3.2: TÍCH PHÂN SUY RỘNG PHỤTHUỘC THAM SỐ ........................167

I. Khái niệm: ..................................................................................................167

II. Các tính chất : .............................................................................................168

1. Tính liên tục:...........................................................................................168

2. Tính khảvi:.............................................................................................169

3. Tính khảvi:.............................................................................................173

III. Một sốtích phân quan trọng:................................................................177

§3.3: TÍCH PHÂN EULER.............................................................................178

I. Hàm Gamma:.............................................................................................178

II. Hàm Beta:...................................................................................................180

CHƯƠNGIV:TÍCHPHÂNĐƯỜNG..............................................................183

§4.1:T Í C HPHÂNĐƯỜNG LOẠI I .............................................................183

I. Công thức tính: ..........................................................................................183

1. Dạng 1:.....................................................................................................184

2. Dạng 2:.....................................................................................................184

3. Dạng 3:.....................................................................................................184

4. Dạng 4:.....................................................................................................184

II. Ứng dụn g củ atíchp h â nđườn g loại I:.....................................................192

III. Tíchphânđườn g loại I trong không gian 𝐎𝐱𝐲𝐳:.................................194

§𝟒.𝟐:TÍCHPHÂNĐƯỜNG LOẠI II ...........................................................197

I. Công thức tính: ..........................................................................................197

1. Dạng 1: ....................................................................................................197

2. Dạng 2:.....................................................................................................197

3. Dạng 3:.....................................................................................................198

II. Công thức Green: ......................................................................................201

III. Điều kiệnđ ểtích phân không phụthuộcvàođườngđi:.....................208

1. Định lí 4 mệnhđề tươngđương: ...........................................................208

2. Bài toán tích phân không phụthuộcvàođườngđ i :............................209

IV. Ứng dụn g củatíchp h â nđườn g loại II:................................................215

5

1. Tính diện tích hình phẳn g : ....................................................................215

2. Tính công của một lựcthayđổi làm dịch chuyển chấtđ i ểm từvịtrí A

đến vịtrí B:....................................................................................................215

CHƯƠNGV:T Í C HPHÂNMẶT .....................................................................217

§5.1: TÍCH PHÂN MẶT LOẠI I ...................................................................217

I. Công thức tính: ..........................................................................................217

II. Ứng dụn g của tích phân mặt loại I: .........................................................223

§5.2: TÍCH PHÂN MẶT LOẠI II..................................................................226

I.Tích phân mặt loại II: ...................................................................................226

II.Công thức Ostrogradsky:............................................................................231

III.Công thức Stoke: ........................................................................................239

IV.Công thức liên hệgiữa tích phân mặt loại I và tích phân mặt loại II:...240

CHƯƠNGVI:LÝTHUYẾTT R Ư ỜNG ..........................................................243

§6.1:TRƯỜNGVÔHƯỚNG.........................................................................243

I. Địnhnghĩa:.................................................................................................243

II. Đạoh à mtheohướn g :................................................................................243

1. Công thức tính:.......................................................................................243

2. Tính chất: ................................................................................................243

III. Gradient: .................................................................................................244

§6.2:T R Ư ỜNG VECTO .................................................................................247

I. Địnhnghĩa:.................................................................................................247

II. Dive,trường ốn g :.......................................................................................247

III. Trường thế, hàm thếvị:.........................................................................247

1. Vecto xoáy (𝐫𝐨𝐭𝐅): ..................................................................................247

2. Trường thế, hàm thếvị:.........................................................................247

IV. Thônglượng:...........................................................................................249

1. Công thức tính:.......................................................................................249

2. Các ví dụminh họa: ...............................................................................249

V. Lưusố ( Ho à nlưu): ....................................................................................255

6

1. Công thức tính:.......................................................................................255

2. Các dạng chính: ......................................................................................255

TÀI LIỆU THAM KHẢO: